Los científicos griegos estaban fascinados por la posibilidad de realizar construcciones con las herramientas más básicas: la regla y el compás. La regla sirve simplemente para trazar pedazos de rectas, mientras el compás sirve para trazar circunferencias. ¿Por qué en muchos de sus estudios se habrán restringido a estas dos herramientas? ¿Qué tienen en particular la recta y la circunferencia?
La circunferencia con centro C y radio r es el conjunto de puntos que están a distancia r del punto C. Las circunferencias miden así lo que está cerca o lejos de un punto y en ellas se encuentra codificada la distancia. En la recta es diferente pues los griegos sólo consideraban pedazos finitos de rectas: segmentos. Un segmento marca el camino más corto entre sus dos extremos. ¿Cómo habrá entonces que interpretar la prolongación de un segmento sobre una de sus dos extremidades? La recta marca cómo seguir "la ruta marcada" sin desviarse hacia la derecha o la izquierda.
Sobre superficies curvas como una esfera o una dona ya no podemos hablar de circunferencias o rectas, pero sí podemos hablar del conjunto de puntos que están a una distancia dada de un punto C o del camino más corto entre dos puntos. En el toro nos damos cuenta rápidamente de que la noción del camino "más corto" no siempre se puede prolongar sobre los extremos. Por ello, mejor se habla de las geodésicas, que son las curvas que tienen la propiedad de que para puntos cercanos sobre ellas sí marcan los caminos más cortos.
