En esta sección queremos indagar un poco sobre las siguientes preguntas: ¿en qué consiste una demostración?, ¿cómo se demuestra algo?, ¿cómo se establece la veracidad de una afirmación? y, finalmente, ¿se puede demostrar todo lo que es verdadero?
Lo que hoy se llama "el Teorema de Pitágoras" se conoció más de 1 000 años antes de Pitágoras, que vivió en el siglo V a.C. A diferencia de las culturas anteriores, los griegos no se dieron por satisfechos con la validez en ejemplos aislados: percibieron la generalidad y la necesidad de una explicación, argumentación o demostración general.
Al principio, sólo fueron resultados sueltos como el Teorema de Tales, los teoremas de triángulos isósceles y el Teorema de Pitágoras. Pero, alrededor de 300 a.C., Euclides escribió un libro realmente extraordinario conocido como Los elementos, donde reunió en 13 tomos gran parte de lo que se sabía en aquel entonces de matemáticas. El logro de Euclides no fue la tarea de simplemente reunirlo y juntarlo, sino de idear una forma de organización sin precedente que hoy se llama sistema axiomático.
La idea de un sistema axiomático consiste en dar al principio los axiomas, es decir, aquellas afirmaciones que se aceptan como verdaderas sin cuestionar, y después derivar, mediante educción, todas las demás afirmaciones. Los axiomas deben ser elegidos con cuidado. En particular, se debe evitar que alguno de los axiomas se pueda deducir a partir de los otros. Más importante aún, los axiomas deben ser consistentes, es decir, no debe ser posible deducirlos a partir de una afirmación y, a la vez, también de su negación.
Los axiomas formulados en Los elementos se dividen en dos grupos. Primero, vienen cinco "Postulados":
Después, siguen cinco "Nociones comunes". La primera de ellas dice que "Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí", mientras que la quinta dice: "El todo es mayor que la parte".
Se ve que los axiomas que se enuncian como "nociones comunes" mencionan afirmaciones que, posiblemente, nunca reflexionaremos tan detenidamente mientras que las afirmaciones que se enuncian como postulados tienen un carácter más específico, dado que tratan de la geometría en particular.
Estos axiomas son precedidos por las 23 "definiciones" que tratan de aclarar qué se entiende por "punto" o "recta". Por ejemplo, la primera definición dice que "un punto es lo que no tiene partes", y la segunda, "una línea es una longitud sin anchura". Desde un punto de visto moderno, estas definiciones sobran. Son los axiomas los que deben aclarar la relación que tienen los objetos entre sí. Es decir, los objetos como "punto" y "recta" se definen por sus propiedades, enunciadas en los mismos axiomas.
Veamos ahora la primera proposición que dice que se puede construir un triángulo equilátero sobre cualquier segmento dado. En seguida se da la demostración:
En cada paso se indica la definición, el axioma o la noción común que se usa. Esto refleja la honradez al argumentar: se trata de no suponer nada, de explicar paso a paso la razón de cada argumento para transitar de las premisas —el segmento inicial dado— a la conclusión —el triángulo equilátero sobre este segmento inicial.
Con Los elementos se estableció la forma de trabajo de las matemáticas como disciplina, donde se deducen las afirmaciones en forma similar a un gran edificio que se construye poco a poco. Es por ello por lo que Los elementos fue el gran modelo a seguir. Por ejemplo, en 1537 se imprimió el libro La Nova Scientia de Niccolò Tartaglia sobre la balística, redactado en el mismo estilo. Esto nos muestra la gran aceptación que tuvo el método de Euclides. Sin embargo, Tartaglia determina como Suposición II —del segundo libro— el axioma de que un cuerpo que se mueve fuera de la perpendicular describe una trayectoria primero rectilínea y después curva —como arco de circunferencia—, aunque este axioma no corresponde a la realidad, según lo que Galilei demostraría —tiempo después—- acerca de las trayectorias parabólicas.
En consecuencia, queda claro que la elección de los axiomas es crucial. Pero no sólo eso: también a la hora de argumentar puede ser —no obstante lo mucho que se trató de evitar— que se usen algunas intuiciones que no se estipularon previamente. Por ejemplo, en la demostración del primer postulado de Euclides se asume la existencia de la intersección de dos circunferencias, resultando un punto de intersección C. ¿Cómo se sabe que tal punto existe? Actualmente, se sabe que aquí hay un problema en la argumentación y que se requiere del teorema de curvas de Jordan para tener la certeza de que tal C exista.
Esto muestra que los estándares de rigor en las demostraciones matemáticas han cambiado con el tiempo. No obstante los puntos débiles que se encontraron en Los elementos, este libro marcó un camino a seguir de honestidad en la argumentación. No fue sino hasta el principio del siglo XX cuando se dio otro avance sustancial en el rigor matemático.
