La simetría de muchas galaxias es sencilla: además de la identidad solamente hay una rotación de 180°; muchas orquídeas también sólo tienen una simetría más, que es la reflexión en un plano vertical que atraviesa la planta a la mitad, como se observa en la figura 3.8.
En ambos casos, hay dos simetrías: la identidad —que se abrevia con id— y otra que llamamos ρ y que tiene la propiedad de que:
ρ o ρ = id.
Las otras posibles composiciones son:
ρ o id = ρ, id o ρ = ρ y id o id = id.
Estas últimas igualdades siempre se tienen pues id es como el 1 de la multiplicación: deja todo como estaba.
En conclusión, el grupo de simetría de la galaxia con dos brazos es "muy similar" al grupo de simetrías de la orquídea: tienen el mismo número de elementos y, además, si éstos se denotan con id y ρ, entonces se componen de la misma manera. En matemáticas, se dice que dos grupos son isomorfos cuando, literalmente, tienen la misma estructura. A menudo, se identifican grupos isomorfos como si fueran iguales, en forma muy similar a como se puede identificar un número de frijoles con un número de puntos de fichas de dominó o con la abstracción: el número. El grupo en abstracto es el que está detrás de la representación o realización concreta.
