3.2.7 Simetría en la física

Las leyes de la física toman en cuenta conceptos como el espacio, el tiempo, la materia o la electricidad. Para expresar las cantidades se suelen usar coordenadas. Por ejemplo, la segunda ley de Newton dice que la fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por la aceleración y se suele escribir como F = ma, donde F es la fuerza, m la masa y a la aceleración.

Pero en realidad se trata de una ley en el espacio: la fuerza y la aceleración son vectores, es decir tienen dirección y longitud. Si esto lo escribimos en nuestro sistema de coordenadas obtenemos tres ecuaciones:

Fx = ma_x

Fy = ma_y

Fz = ma_z

donde F_x, F_y, F_z son los componentes del vector F y similarmente a_x, a_y, a_z del vector a.

En principio, no es claro que estas leyes no cambien si tomamos otro sistema de coordenadas; por ejemplo, si lo rotamos por un ángulo α alrededor del eje de coordenadas z, la transformación es:

x' = cos (α)x – sen (α)y

y' = sen (α)x + cos (α)y

z' = z

donde x', y' y z' significan las coordenadas en el sistema girado. De forma similar se calculan los componentes del vector de la fuerza y la aceleración. Por ejemplo:

F_x' = cos (α) F_x – sen (α) F_y

= cos (α) ma_x – sen (α) ma_y

= m (cos (α)a_x – sen (α)a_y)

= ma_x'

De manera semejante, se obtiene F_y' = ma_y' y F_z' = ma_z'. Con ello se muestra que la segunda ley de Newton es invariante bajo rotaciones alrededor del eje de coordenadas z. Con argumentos similares se puede mostrar también la invariancia bajo rotaciones alrededor de otros ejes y, por lo tanto, de una combinación de ellos. Éste es un ejemplo sencillo de una de las motivaciones que llevaron a Albert Einstein a proponer la teoría de la relatividad: que las leyes de la física deben ser las mismas en cualquier parte del Universo y en todo momento; que al expresarlas como ecuaciones, éstas deben ser simétricas respecto al movimiento en el espacio y en todo momento.

La simetría juega un papel importante en la física y, sobre todo en el siglo XX, llegó a ser una consideración sustancial para generar expectativas y hasta teorías enteras. Una simetría de cierta ecuación, la de Dirac, condujo a la predicción de la existencia del positrón, la antipartícula del electrón. El concepto de grupo, en particular su abstracción, no sólo abrió camino a las matemáticas en el siglo xix sino también a la física durante el siglo XX. Tiene un papel central en la frontera de la física, en el mundo cuántico de lo muy pequeño y en el relativista de lo muy grande. Se espera, incluso, que guíe la ruta de la buscada "teoría del todo", una unificación de esas dos ramas claves de la física moderna. Para finalizar, hay que resaltar que el concepto de grupo, ese que subyace al de simetría y a las más modernas teorías físicas, surgió a principios del siglo XIX al atacar un problema de las mismas matemáticas: el resolver la ecuación de quinto grado.

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