La relación entre la naturaleza y las matemáticas es tan estrecha que muchas veces resulta difícil separarlas. Por ejemplo, ¿qué tanto la geometría es un estudio del espacio físico en el que nos encontramos? Con sus conceptos y teoremas, la geometría proviene del esfuerzo de muchas generaciones para adquirir un modelo teórico que represente fielmente al espacio en que vivimos y sus propiedades. ¿Esto es física o matemáticas? Más bien, ambas.
La concepción moderna de las matemáticas que dominó el pensamiento durante el siglo XX, está basada en la idea de que éstas no tratan con ninguna realidad sino con objetos abstractos, las relaciones entre ellos —que se postulan como axiomas— y las consecuencias lógicas que pueden deducirse de estos últimos. Si aceptamos esta idea, la geometría, como parte de las matemáticas, no podría tratar sobre el espacio. Pero a lo largo de muchos siglos, el hombre intentó modelar y comprender su entorno apoyándose para ello en las matemáticas y concibiéndolas como el lenguaje adecuado para explicar las propiedades y el comportamiento del mundo que le rodea.
¿Existen los puntos? Según la geometría de Euclides, un punto es aquello que no tiene partes. ¿Alguien ha visto alguna vez un punto; no una pequeña mancha en el papel —que por muy pequeña que sea, consta de una zona del papel manchada por la tinta—, sino un punto de verdad que no conste de otras cosas? ¿Existen una recta y un círculo perfectos? Estas preguntas se las hacían los griegos y Platón las respondía diciendo que tales objetos matemáticos "perfectos", como el punto, la recta y el círculo, no son parte del mundo de los sentidos sino que habitan un mundo ideal al que el ser humano sólo tiene acceso mediante el pensamiento. Los objetos reales que señalamos diciendo que son puntos, rectas y circunferencias, no son más que ejemplos materiales imperfectos de aquellos objetos ideales.
El formalismo llegó aún más lejos que la geometría de Euclides en la construcción de una teoría de las matemáticas desligada del mundo material, que se revisa en la sección 4.7, al especificar que las matemáticas tratan con objetos abstractos ajenos al mundo material, es decir, que esos objetos ni siquiera deben intentar representarse por dibujos o algún otro medio, y que las palabras punto, recta y circunferencia bien podrían cambiarse por otras como silla, corcho y sal, sin alterar en absoluto el contenido de la geometría, siempre y cuando los objetos abstractos designados por ellas guarden entre sí las relaciones postuladas, es decir, los axiomas.
Quizá el punto de vista formalista representa el sentir mayoritario de la comunidad académica matemática y, sin embargo, no explica la increíble eficacia de las matemáticas para modelar la realidad, sus componentes y sus leyes, como se verá en la sección 3.5. Tampoco explica la gran utilidad de las matemáticas para representar, plantear y resolver problemas prácticos en el ámbito de la actividad humana en general. El formalismo da cuenta de una parte de la actividad matemática, pero ignora por completo las relaciones de las matemáticas con las ciencias y su utilidad social. En este apartado incursionaremos en el mundo fascinante de las relaciones entre las matemáticas y el mundo físico, entendido como el espacio en el que vivimos, sus propiedades y las de los cuerpos materiales que lo habitan, el movimiento, las leyes que lo rigen, las fuerzas de la naturaleza y los conceptos matemáticos que el hombre ha desarrollado —específicamente— para modelar ese mundo físico.
