Como ya vimos previamente, los conceptos del cálculo están íntimamente relacionados con la física. La velocidad no puede definirse con rigor sin la derivada, mientras que el cálculo de la trayectoria de un cuerpo requiere del uso de los poderosos métodos del cálculo.
La primera y más impactante aplicación del cálculo a la física fue la deducción matemática de las leyes del movimiento de los planetas, es decir, de las leyes de Kepler, a partir de la segunda ley de Newton:
así como de la ley de la gravitación universal, en forma vectorial:
Usando los métodos del cálculo se puede demostrar que, si suponemos que la fuerza que actúa sobre un cuerpo celeste es la fuerza gravitatoria del Sol, entonces su trayectoria será una curva cónica —elipse, parábola o hipérbola— que tendrá al Sol en uno de sus focos. Los planetas, como giran alrededor del Sol, no pueden tener órbitas parabólicas o hiperbólicas, por lo tanto sus órbitas son elípticas: segunda ley de Kepler. También, a partir de la segunda ley de Kepler se obtiene que el radio vector del Sol al cuerpo barrerá áreas iguales en tiempos iguales. La tercera ley de Kepler se puede deducir de igual forma con absoluto rigor: los cuadrados de los tiempos de revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas elípticas.
No vamos a mostrar cómo se usa el cálculo para deducir las leyes de Kepler, tal demostración puede encontrarse en los libros avanzados. Pero es importante que quede claro al lector que se trata de resultados de una extraordinaria importancia, pues llevan al hombre a cambiar su concepción del Universo, le hacen dar el paso definitivo entre la superstición y la ciencia. Y en este paso las matemáticas jugaron un papel central.
El Universo parece comportarse siguiendo unas leyes de naturaleza matemática y todos los detalles del movimiento de los cuerpos pueden deducirse matemáticamente de estas leyes. Éste fue uno de los descubrimientos científicos más importantes de la historia, si no es que el más importante. Se trata de un descubrimiento que pone a la razón y en particular a las matemáticas en el gobierno de la naturaleza, con lo que la existencia de deidades que se encargan de decidir todo lo que ocurre deja de ser lógicamente necesaria. El Universo tiene leyes racionales, leyes que se expresan con fórmulas matemáticas y que determinan todo lo que ocurre. La religión, que se había adueñado por muchos siglos del poder sobre el Universo recibió un duro golpe cuando se descubrió que las maravillas de la naturaleza podían explicarse, en principio, a partir de fórmulas y, por lo tanto, no era necesario recurrir a un sacerdote —supuestamente en contacto privilegiado con los dioses— para cambiar el curso de los acontecimientos, sino que se podía actuar directamente sobre las causas para producir los efectos deseados. Dejan de ser necesarios intermediarios para influir sobre el mundo, ahora ya sólo bastan la ciencia y la tecnología.
A medida que los descubrimientos de Newton se fueron popularizando y alcanzaron a las personas interesadas en la política, se convirtieron en herramientas de liberación. La Ilustración y por tanto la Revolución francesa, madre de todas las revoluciones sociales posteriores, deben mucho a la concepción del Universo que nos legó Newton. El cálculo juega un papel fundamental en esta historia, los propios conceptos que permitieron entender el Universo son entes matemáticos.
La siguiente sección puede dar una idea al lector de por qué la segunda ley de Newton y la ley de la gravitación universal llevan a las leyes de Kepler. No se trata de una deducción rigurosa en la que habría que usar el cálculo, sino de un divertimento geométrico que hace plausible la deducción.
