Aristóteles había escrito que el todo es más que la suma de sus partes. Euclides, medio siglo después, lo acortó y dijo que el todo es mayor que la parte. Fue Galilei quien por primera vez observó que estas afirmaciones podían fallar si se trataba del infinito. En su libro Consideraciones y demostraciones matemáticas sobre dos nuevas ciencias dice, por boca de Simplicio, que "seguramente la infinitud de una línea corta es menor que la infinitud de una línea más larga"; la respuesta de Salviati es que "eso son dificultades que resultan al tratar de compren der, con nuestro intelecto finito, algo infinito y se atribuyen al infinito propiedades que se conocen de lo que es finito, pero esto no es válido".
El ejemplo que expone Salviati es interesante. En ello, argumenta que podemos elevar al cuadrado cada número y obtener un cuadrado perfecto, es decir, un cuadrado cuya raíz cuadrada es un número natural. De esta manera, se muestra que los números naturales y los números cuadrados se corresponden uno a uno. Lo anterior choca con nuestro sentido común, entrenado por el mundo de lo finito, de que una parte —en este caso, los números cuadrados— son sólo una parte de todos los números naturales. A este tipo de problemas se le conoció como paradojas del infinito y no se sabía en un inicio cómo lidiar con ellos ya que el infinito fue, por mucho tiempo, lo contrario de lo finito.
El problema de considerar conjuntos, es decir, dos colecciones de objetos, consiste en establecer un criterio claro para compararlos. Si se trata de conjuntos infinitos como, por ejemplo, el conjunto de números naturales, entonces no podemos contarlos: el proceso de contar —decir número tras número señalando un objeto tras otro hasta llegar al número asignado al último objeto, que es el número de objetos en el conjunto— no funciona porque no hay un último objeto.
Por consiguiente, hay dos alternativas. La primera es la contención. Podríamos decir que los números cuadrados perfectos son menos que los números naturales, porque los primeros están contenidos como una parte propia del segundo conjunto. Pero con este criterio no podemos comparar el conjunto de tres manzanas con el de dos peras, ya que peras no son manzanas y el conjunto de peras no es un subconjunto, es decir, una parte del conjunto de manzanas. Vemos que el número es una abstracción y, al contar, hacemos una asignación uno a uno de los objetos con los primeros números.
La segunda alternativa consiste en tomar la correspondencia de uno a uno como criterio de comparación. Las consecuencias son sorprendentes. El hombre que trabajó con detalle esta idea fue Georg Cantor, matemático alemán, y lo hizo precisamente con esta manera de comparar que ya Galilei había propuesto. Con ello, concluimos que, en efecto, hay la misma cantidad de números cuadrados perfectos que de números naturales. Si entre dos conjuntos A y B no es posible establecer una correspondencia uno a uno, pero sí es posible establecer una correspondencia del conjunto A con una parte del conjunto B, entonces diremos que A es de menor cardinalidad que B. Con este concepto vemos sin problema que el conjunto de dos peras es de menor cardinalidad que el conjunto de tres manzanas.
Los conjuntos se dividen en diferentes cardinalidades formando clases de equivalencia de conjuntos que tienen la misma cardinalidad, es decir, conjuntos entre los cuales es posible establecer una correspondencia uno a uno. Los cardinales finitos son aquellos que corresponden a los números naturales. Después, hay un primer cardinal infinito que corresponde al conjunto de los números naturales. Cantor denotó a este cardinal con 
y se lee "alef cero" —aleph por ser la primera letra del alfabeto hebreo y cero porque es el primer cardinal infinito—. Los conjuntos de cardinalidad se llaman también numerables, ya que una correspondencia con los números naturales indica una manera de numerar estos elementos. El elemento que corresponde al número 1 será el primero en la lista, el que corresponde al 2 el segundo y así succesivamente.
Cualquier conjunto infinito contiene una parte que tiene cardinalidad , que se puede ver de la siguiente manera. Como el conjunto es infinito, podemos empezar a hacer una lista de elementos sin repetir ninguno. Esta lista siempre es finita y, por lo tanto, siempre se puede extender. De esta manera se obtiene un listado l1, l2, l3,… infinito con cardinalidad .
Lo anterior se puede aplicar justo a los números naturales. Si quitamos el primer número, seguimos con un conjunto infinito l1 = 2, l2 = 3, l3 = 4,… de cardinalidad . Así, obtenemos una correspondencia uno a uno, como se observa en la figura 4.25, donde se muestra la correspondencia con flechas dobles.
De hecho, cada conjunto infinito tiene la misma cardinalidad que una de sus partes y sólo los conjuntos infinitos tienen esta propiedad. En efecto, si A es un conjunto infinito, especificamos un subconjunto L = {l1, l2,…} y denotamos con B = A \ L lo que queda de A al remover los elementos de L. Ahora, sea A' = A \ {l1}, es decir, quitamos únicamente el elemento l1 y establecemos una correspondencia uno a uno entre A y A', como en la figura 4.25 entre L y L \ {l1} y la identidad entre B y B.
